最新心型函数中的浪漫数学问题(四篇)

心型函数中的浪漫数学问题篇二

正弦型函数y=asin(ψx+φ）的图象变换教学设计

北京市昌平区第一中学 陈爱民

教学目标： 知识与技能目标：

能借助计算机课件，通过探索、观察参数a、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=asin(ωx+φ)的图象。

过程与方法目标：

通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

情感、态度价值观目标：

通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。

教学重点：考察参数ω、φ、a对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=asin(ωx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。

教学难点：对y=asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，、a对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。

学情分析：

本节课在高一第二学段，学生进入高中学习已经三个月，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。教学内容分析：

三角函数是基本初等函数之一，是中学数学的重要内容。本节为三角函数图象与性质的重要内容，是一节函数图象探究的重要范例，同样也是提高学生识图、画图、数形结合等能力的一次锻炼。本节内容是在学生已经理解振幅变换、相位变换和周期变换的基础上，通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数、的图象到正弦型函数y=asin(ωx+φ)图象的变换规律。观察函数、、、图象间的关系，通过对比，探求有关性质以及图象的变换方法。鼓励学生大胆猜想，将直观问题抽象化，揭示本质，培养学生思维的深刻性。

利用计算机操作相关的课件，直观展示图象的变化，细致观察图象变化的数量，使学生学会观察。这就会使学生容易在学习的过程中把握图象变化的内在联系，进而理解本质的规律。首先对参数变化所引起的图象变化进行观察，获得参数对函数图象影响的大致感知，进而进行细致的量的变化的观察和分析，体现了对事物认识的螺旋式上升；从具体的函数出发，进而得出一般性的结论，体现了从特殊到一般，由感性到理性的过渡。

教学流程图：

教学过程：整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的。

（一）创设情境： 1.动画演示： 《用沙摆演示简谐运动的图象》

2.根据你的知识，你能解决函数哪些方面的问题？

学生分析：可以求这个函数的最小正周期、单调区间以及“五点法”作图。教师追问：作出它的图象还有其他的方法吗？

【设计意图】复习回顾，直接切入研究的课题。（板书课题：函数问题1：函数学生思考，交流，正弦函数

和我们熟知的正弦函数，有什么联系呢？

就是函数

在a=1，ω=1，=0的特殊情况。的图象）

【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数y=asin(ωx+φ)的图象，体现该函数图象与生活实际的紧密联系,体现函数图象在物理学上的重要性，激发学生研究该函数图象的兴趣。引导学生思考y=asin(ωx+φ)与正弦函数的一般与特殊的关系，进而引导学生探讨正弦曲线与函数y=asin(ωx+φ)的图象的关系。

（二）建构数学 自主探究：

自主探究：由正弦曲线如何变化得到函数①问题提出：三种变换能否任意排序？

②对于你们小组提出的变换方式，你要怎样解决你呢？ 的图象？

【设计意图】观察函数解析式学生容易发现三个参数、、都发生了变化，自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排序呢？

问题2：由正弦函数猜想（1）猜想（2）

图象如何变换得到函数的图象？

【设计意图】观察函数解析式，容易发现参数、都发生了变化，根据已有的知识基础，自然恰当地提出本节的核心问题：两种变换能否任意排序，最后确定研究方向。

a、自主实验，形成初步结论：小组合做，根据自己的兴趣在两种变换中选择一种进行研究： 问题3：按照第一种方法由函数按照第二种方法由函数的图象如何变换到的图像如何变换到函数的图象？ 的图象？

学生投影回答，结合自己画的函数图像，说明变换方法。

①.把的图象上的所有的点__左___平移 ___个单位长度，得到的图象。

②.再把的图象上各点的_横__坐标_缩短__的图象。

到原来的__倍（_纵_坐标不变），得到③.再把的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_的图象。

到原来的__3_倍（__横_坐标不变）得到

学生总结上述变换过程：相位变换 ①.把

周期变换

振幅变换 或 向右

平行移动

个单位长度，得到的图象上的所有的点 向左 的图象。②.再把坐标不变），得到③.再把的图象上各点的_横_坐标__缩短_的图象。的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_的图象。

或_伸长_到原来的__倍（_纵_

或_缩短_为原来的_a_倍（_横_坐标不变）得到

b、深入探究，讨论分析： 预设问题：

教学的班级为普通班，根据以往的教学经验，如果只研究一种顺序，有的学生会错误地认为由的图象向左

平移个单位得到的图象，说明学生没有真正理解函数图象的变化是看坐标（x,y）的变化量。预想到学生会犯这个错误，为了让学生更好地理解图象变化的实质，我选择不同的小组汇报，进而追问：为什么会有这种不同呢？原因是什么？学生们可以通过观察坐标表格中横坐标的变化，发现平移量。或者通过观察图象，发现平移量。因为在方案ω—中，先进行了横向的伸缩，即横坐标变为了原来的单位；从坐标和解析式上来看，点论。

和

倍，所以向左平移个

分别满足两个解析式，也可以得到这个结

把的图象上所有的点__向左_平移_

_个单位长度，得到函数的图象。

问题4：第二种变换方法，平移量是，还是，为什么？

个单位；先周期变换后相位变注意不同顺序中平移量的不同。先相位变换后周期变换时，需向左平移换时，需向左平移个单位而不是个单位。平移量是由的改变量确定的。

学生总结第二种变换的规律：周期变换

相位变换

振幅变换

把y=sinωx的图象上的所有的点 向左 到y=sin(ωx+φ)的图象。

或 向右平行移动个单位长度，得对比两种变换过程说明：先相位变换后周期变换平移先周期变换后相位变换平移

个单位长度。

个单位长度。

【设计意图】使学生由正弦曲线变化得到函数y=asin(ωx+φ)(a>0，ω>0)的图象的不同方案有一个整体的认识，并在掌握图象变化实质的基础上，择优选择。

（三）知识运用，巩固强化

练习：

1、只需把函数的图象上所有点（a），可以得到

函数的图象。

a、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。

b、横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。c、纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变。

d、纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变。

2、为了得到函数a、向左平移的图象，只需把函数的图象上所有点（b）

个单位长度 个单位长度

b、向右平移c、向左平移个单位长度

d、向右平移个单位长度

3、把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图像，再把函数变式：把函数把函数的图象上所有点向右平移个单位，得到函数

的图象。

的图象，再 的图像。图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数

【设计意图】练习及变式练习是对本节课重点和难点知识的巩固，通过学生的回答,可了解学生对于函数图像变换的“形”、“数”思维的形成过程是否得到落实。

（四）归纳交流

1、学生谈本节课的学习体会。

2、正弦函数y=sinx的图象变换到函数y=asin(ωx+φ)的图象：顺序可任意，平移尺度要注意。

3、数学思想：数形结合、从特殊到一般思想、化归思想。

（五）巩固作业

课本p49/2（写在作业本上）,p50/1（写在书上）

（六）学习效果评价设计

1．在学生动手实践、观察、思考问题的过程中，关注学生发现问题、解决问题的能力；并在进一步的学习过程中，观察学生的类比学习能力；

2．在各组共同学习、解决问题的过程中，观察学生合作交流、学习的能力； 3．对不同方案的对比学习中，了解学生把握事物本质的能力；

4．通过课堂活动与交流，了解学生对知识的掌握程度，通过反馈，对易错、易混的知识点，做出启发性的指导；

5．通过课堂小结，学生说出自己的收获，与别人分享学习数学的体会，激发学习数学的积极性，建立自信心。

心型函数中的浪漫数学问题篇三

数学函数中的浪漫

组长：阮鹏鹏 组员：戴明 邓子奔

心脏线的发现

笛卡儿，１７世纪时出生于法国，他对于后人的贡献相当大，他是第一个发现直角坐标的人，可惜一生穷困潦倒。

一直到在５２岁，一直默默无名。

当时法国正流行黑死病，迪卡儿不得不逃离法国，于是他流浪到瑞典当乞丐。

某天，他在市场乞讨时，有一群少女经过，其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人，她对迪卡儿非常好奇，于是上前问他.......你从哪来的啊?法国。

你是做什么的啊? 我是数学家。

这名少女叫克丽丝汀，１８岁，是一个公主，她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。

当她听到迪卡儿说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把迪卡儿邀请回宫。迪卡儿就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。

而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有迪卡儿这对师生才懂。后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。这件事传到国王耳中，让国王相当愤怒！下令将迪卡儿处死，克丽丝汀以自缢相逼，国王害怕宝贝女儿真的会想不开，于是.......将迪卡儿放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。

迪卡儿一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。迪卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。所以克丽丝汀一直没收到迪卡儿的信.......在迪卡儿快要死去的时候，他寄出了第１３封信，当他寄出去没多久后...就气绝身亡了。这封信的内容只有短短的一行......r=a(1-sinθ)

国王拦截到这封信之后，拆开看，发现并不是一如往常的情话。国王当然看不懂这项数学式，于是找来城里所有科学家来研究，但都没有人能够解开到底是什么意思。国王心想.......反正迪卡儿就快要快死了，而且公主被软禁时都闷闷不乐的，所以，就把信交给克丽丝汀。当克丽丝汀收到这封信时，雀跃无比，她很高与她的爱人还是在想念她的。她立刻动手研究这行字的秘密。没多久就解出来了，用的就是直角坐标图 当θ＝0°时，r＝a(1－0)＝a

…… a点

当θ＝90°时，r＝a(1－1)＝0

…… b点 当θ＝180°时，r＝a(1－0)＝a

…… c点

当θ＝270°时，r＝a(1＋1)＝2a …… d点

a为四截距的比值

而 b点是原点(0,0)，这要靠点想象，把a,b,c,d四点用弧线连接起来连接出来..就是有名的心脏线。

这就是迪卡儿和克丽丝汀之间秘密数学式不久之后那位国王也死了，克丽丝汀继承王位，登基之后马上派人在欧洲四处寻找迪卡儿的踪迹，可惜........人已故。传说，这第１３封的另类情书还保留在欧洲的迪卡儿纪念馆里。

心型图的画法

用几何画板的画法。

第一步应该建立直角坐标系。

第二步输入函数。

第三步，输入函数解析式，心形函数的解析式是

然后点击确定于是浪漫的心形函数的图像就画出来了。

这条函数里面有我们在高中学习到的三角函数，其实美丽就在我们身边，缺少的只是发现美丽的眼睛罢了。

数学中也有浪漫

数学本身并不枯燥，为什么有那么多同学望而生畏呢？甚至有人说过这样一句话：数学是那么的枯燥，相当于站在花园外，而每朵花儿都不好看。

事实果真如此吗？英国数学家、哲学家怀特海曾经指出，数学是“真、善、美”三位一体的辩证统一。一个正确的数学理论，反映客观事物的本质和规律，这是数学的“真”；数学理论不管离现实多远，最后总能找到它的实际用途，体现为人类服务的价值取向，这是数学的“善”；数学理论本身的奇妙、微妙、简洁有力，就是数学的“美”。我国散文作家赵鑫珊曾说过一句话：“在本质上，数学家的气质必须是位诗人。”德国数学家威尔斯拉斯也曾说过：“不带点儿诗人味儿的数学家，绝不是一个完善的数学家。”著名的英国童话《爱丽丝奇遇记》虽然写的都是荒诞的经历，但因为他的作者是英国牛津大学的数学家，其中蕴含着许多数学的“理趣”，至今还被许多数学方面的专业论文引用。我国著名的几何家苏步青就是一位优秀的诗人，从事诗歌创作的时间达70年，并出版了《苏步青业余诗词钞》与《数与诗的交融》。而一个诗人骨子里就是浪漫的，而数学家就是诗人，所以数学家也是浪漫的，由此可见，数学也是浪漫的，这不刚好用数学的方法推导出数学是浪漫的吗？ 数学是并不是枯燥的，枯燥是因为你对他没有兴趣。大多数数学家都是一张纸一支笔的生活着他们并不感到枯燥，这是为什么？并没有太多原因，仅仅只是对数学有兴趣，看到了数学的美。想要学好数学其实并没什么很难得地方，只要你有足够的兴趣，足够努力的学习就一定可以学好。

制作人：阮鹏鹏

制作时间：2012.04.22

心型函数中的浪漫数学问题篇四

一次型分式函数

二、基本函数作图

例1．作下列函数图象

（1）；

（2）．

归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称点；对于（1），点是该双曲线的一个顶点．

归纳2：一般地，函数的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当时图象分布在一、三象限，图象与直线的交点是双曲线的顶点；当时图象分布在二、四象限，图象与直线的交点是双曲线的顶点．

三、利用平移作图

例2．类比函数的图象到函数的图象的变换，指出由的图象到的图象的变换，并作出函数的图象．

归纳：图象向右平移1个单位；图象向下平移2个单位，等等．

练习：指出函数的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数的图象．

例3．作函数的图象，并归纳一次型分式函数图象与函数函数的图象的关系．

归纳：一次型分式函数本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．

练习：作函数的图象．

四．“二线一点”法作图探究

例4．已知函数．

（1）作函数的图象；

（2）并指出函数自变量x的取值范围（即函数的定义域）；因变量y的取值范围（即函数的值域）．

（3）x的取值范围，y的取值范围反映在图象上的特点是什么？

（函数图象与直线,没有交点，即,是对应双曲线的渐近线）

（4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定）

（5）对于一般的一次型分式函数如何来确定渐近线，即确定x与y的取值范围？

（6）观察例4、例3，发现与系数关系．

例5．作函数的图象．

归纳：对于一次型分式函数的作法：

（1）先确定x与y的取值范围：，即找到双曲线的渐近线，；

（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；

（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．

练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数的图象．

五．小结

1．一次型分式函数本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．其图象是双曲线，其中，是双曲线的两条渐近线（曲线与直线无限接近），点是图象的中心对称点．

2．平移法作函数的图象时，先将函数解析式化为，再由图象平移得到．

3．“二线一点”法作函数的图象时，（1）先确定x与y的取值范围：，即找到双曲线的渐近线，；（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．

六．课后作业

1．若函数的图象过点，则函数图象分布在（）

（a）一、四象限（b）二、三象限（c）一、三象限（d）二、四象限

2．函数图象大致形状是（）

（a）

（b）

（c）

（d）

3．函数的图象可由下列那个函数图象平移得到（）

（a）（b）（c）（d）

4．观察函数的图象可得，当时，y的取值范围为（）

（a）（b）（c）（d）或

5．直线与函数图象一个交点的横坐标为，则k=__________．

6．函数在内随着增大而减小，则的取值范围

．

7．已知函数，则y的取值范围为_______________．

8．函数的图象可由函数向_______（左、右）平移________个单位；再向_________（上、下）平移________个单位得到．

9．函数的图象关于点(1,2)对称，则a=__________；b=___________．

10．已知一次函数y1=x+1，p点是反比例函数（k>0）的图象上的任一点，pa⊥x轴，垂足为a，pb⊥y轴，垂足为b，且四边形aobp（o为坐标原点）的面积为2．

（1）求k的值；

（2）求所有满足y1=y2的x的值；

（3）试根据这两个函数的图象，写出所有满足y1>y2的x的取值范围．（只需直接写出结论）

11．已知函数．

（1）写出函数图象由那个反比例函数图象通过怎样的平移得到；

（2）写出函数图象的渐近线、中心对称点坐标；

（3）用“二线一点”法作出函数图象的大致形状．

12．作出函数图像，并完成下列各题：

（1）当时，求的值；

（2）当时，求取值范围；

（3）当时，求取值范围；