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不等式

  定义

  用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子,那它就是一个不等式。例如2x+2y≥2xy,sinx≤1,ex>0,2x<3,5x≠5等。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地,用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式,用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式。

  不等式的性质

  ①如果x>y,那么yy;(对称性)

  ②如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)

  ③如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法原则)

  ④如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz

  ⑤如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z

  ⑥如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要条件)

  ⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;

  ⑧如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)[1]

  如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式,以上是其中比较有名的。

  解不等式的原理

  主要的有:

  ①不等式F(x)F(x)同解。

  ②如果不等式F(x)

  ③如果不等式F(x)0,那么不等式F(x)H(x)G(x)同解。

  ④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。

  不等式的证明

  1、比较法

  包括比差和比商两种方法。

  2、综合法

  证明不等式时,从命题的已知条件出发,利用公理、定理、法则等,逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法,综合法又叫顺推证法或因导果法。

  3、分析法

  证明不等式时,从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐步探索,最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件,这种证明的方法称为分析法,它是执果索因的方法。

  4、放缩法

  证明不等式时,有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小,使其化繁为简,化难为易,达到证明的目的,这种方法称为放缩法。

  5、数学归纳法

  用数学归纳法证明不等式,要注意两步一结论。

  在证明第二步时,一般多用到比较法、放缩法和分析法。

  6、反证法

  证明不等式时,首先假设要证明的命题的反面成立,把它作为条件和其他条件结合在一起,利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论,以此说明原假设的结论不成立,从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

 

 

 

 

 

 

 

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